چگونگی تشکیل مفاهیم ریاضی در کودکان

وقتی که بزرگسالان‏ سعی می‏کنند که مفاهیم ریاضی را به کودکی‏ که به سن لازم برای آموختن آن مفاهیم نرسیده‏ است بیاموزند،یادگیری این کودک صرفا زبانی‏ خواهد بود،یعنی کودک فقط نام اعداد را یاد خواهد گرفت نه مفهوم واقعی آنها را.درک‏ واقعی این مفاهیم زمانی میسر خواهد شد که‏ کودک به سن عقلی لازم برای کسب این مفاهیم‏ رسیده باشد.

این موضوع با یک آموزش ساده نشان‏ داده می‏شود.کودک 5 تا 6 ساله آمادگی دارد که با کمک پدر و مادر شماره‏های 1 تا 10 را بیاموزد.اگر ده شیئی را در یک ردیف قرار دهیم،این کودک می‏تواند آنها را به‏طور درست بشمارد.لکن اگر ردیف به هم بخورد و اشیاء به وضع پیچیده‏ای پیش هم قرار گیرند، یا مثلا روی هم انباشته شوند،کودک دیگر نمی‏تواند آنها را درست بشمارد.پس گرچه‏ کودک نام اعداد را می‏داند،هنوز تصور لازم‏ عدد را ندارد،یعنی نمی‏داند که شمارهء اشیا در یک گروه،بی توجه به اینکه چگونه این اشیا به هم ریخته یا مرتب شده باشند،یکسان باقی‏ می‏ماند.

از سوی دیگر،کودک 5/6 یا 7 ساله‏ اغلب نشان می‏دهد که خودبه‏خود مفهوم عدد را کسب کرده است،حتی اگر هنوز شمارش‏ به او آموخته نشده باشد.اگر به او 8 دگمهء آبی و 8 دگمهء قرمز بدهید با یک یک پهلوی هم‏ قرار دادن آنها،کشف خواهد کرد که تعداد دگمه‏های قرمز برابر تعداد دگمه آبی است، و خواهد فهمید که،علیرغم شکلهای گوناگونی‏ که می‏توانند به خود بگیرند،دو گروه مساوی‏ باقی خواهند ماند.

آزمایش مقارنهء اشیاء برای تحقیق در مورد تکامل مفهوم عدد در کودکان بسیار مفید است.ردیفی از 8 دگمهء قرمز درست‏ کنید،بدین‏سان که فاصلهء آها مساوی و برابر با یک اینچ(5/2 سانتی‏متر)باشد.بعد،از کودکان خردسال بخواهید تا از جعبه‏ای که پر از دگمه‏های آبی رنگ است به اندازهء دگمه‏های‏ قرمز بیرون آورند و کنار ردیف قرمز بگذارند.واکنش کودکان،بسته به سن آنها، متفاوت است.می‏توانیم سه مرحله از رشد را با این آزمایش متمایز سازیم.

1-کودکان حدود 5 ساله یا کمتر آن‏قدر دگمه‏ آبی رنگ کنار ردیف دگمه‏های قرمز قرار خواهند داد تا طول دگمه‏های آبی به‏ اندازهء دگمه‏های قرمز بشود،لکن همهء این دگمه‏ها را کنار هم خواهند گذاشت و هیچگونه فاصله‏ای را رعایت نخواهند کرد. 2-کودکان در حدود 6 سالگی به مرحلهء دوم‏ می‏رسند.این کودکان در مقابل هر دگمه‏ قرمز یک دگمهء آبی خواهند گذشت تا وقتی‏ که ردیف‏ها مساوی شوند.اما آنها لزوما هنوز مفهوم خود عدد را نگرفته‏اند.به‏ دلیل اینکه اگر دگمه‏های قرمز را از هم‏ باز کنیم،به‏طوری که طول ردیف قرمز بیشتر از آبی شود،کودک 6 ساله فکرخواهد کرد که ردیف درازتر از تعداد بیشتری دگمه تشکیل یافته است،گرچه ما به آن چیز نیفزوده و یا از آن نکاسته باشیم. 3-در سن متوسط 5/6 یا 7 سالگی کودکان‏ به مرحلهء سوم می‏رسند.آنها می‏دانند که اگر یک ردیف را با نزدیکتر کردن‏ دگمه‏ها کوتاهتر یا با دور کردن آنها درازتر کنیم تعداد دگمه‏های آن با ردیف‏ دیگر فرقی نخواهد کرد.

در آزمایش دیگر به یک کودک دو ظرف‏ همشکل و هم اندازه می‏دهیم و از او می‏خواهیم‏ که مهره‏هایی را که در اختیارش می‏گذاریم‏ به داخل ظرفها بریزد،به این ترتیب که در فاصله زمانی معین به یک ظرف با دست راست‏ مهره‏هایی قرمز و به ظرف دیگر با دست چپ‏ مهره‏های آبی را بریزد،وقتی که ظرفها را تقریبا پر کرد از او می‏پرسم کدام ظرف‏ بیشتر مهره دارد.مطمئن است که هردو به یک‏ اندازه مهره دارند.بعد از او می‏خواهیم تا مهره‏های آبی را در ظرف دیگری که از لحاظ اندازه با اولی فرق دارد بریزد.در این‏ آزمایش نیز می‏بینیم که در فهم مطلب بین‏ کودکان،نسبت به سن آنها،اختلاف وجود دارد.کودکان خردسال فکر می‏کنند که تعداد مهره‏ها فرق کرده است.اگر مثللا تعداد مهره- های آبی در ظرف جدید در سطح بالاتری باشد فکر می‏کنند که تعداد مهره‏های آن از مهره‏های‏ ظرف اصلی بیشتر است؛اگر در سطح پایینتری‏ باشد فکر می‏کنند که تعداد آنها کمتر شده‏ است.اما کودکانی که حدود 7 سال دارند می‏دانند که تغییر ظرف در تعداد مهره‏ها تغییری ایجاد نمی‏کند.

خلاصه اینکه کودک باید در اصل بقای کمیت‏ را،قبل از اینکه بتواند مفهوم عدد را تشکیل‏ دهد،درک کند.و البته بقای کمیت به خودی خود یک تصور عددی نیست،بلکه تصوری منطقی

است.لذا،این آزمایشها در روانشناسی کودک‏ معرفت‏شناسی Epistemology مفهوم عدد را (موضوعی که توسط بسیاری از ریاضیدانها و منطقدانها آزمایش شده است)روشن می- سازد.

دو ریاضیدان معروف:هنری پوانکاره‏ Henri Poincare بروور L. E. G. Brouwer معتقدند که عدد حاصل شهود نخستین‏ Primitive Intuition است که براساس تصورات منطقی‏ مقدم است.به عقیده ما آزمایشهای که در بالا شرح داده شداین نظریه را انکار می‏کند. از سوی دیگر،برتر اندراسل از این نظریه‏ حمایت می‏کند که عدد صرفا مفهومی منطقی‏ طبقه مشتق می‏شود(هر عدد طبقه‏ای است که‏ از طبقه‏های برابر تشکیل یافته است.)اما نظریهء راسل بافریندهای روانشناسی،که‏ مادر کودکان خردسال ملاحظه کرده‏ایم،کاملا مطابقت ندارد.کودکان در ابتدا بین عدد اصلی‏ و ترتیبی فرقی نمی‏گذارد.به علاوه مفهوم‏ عدد اصلی خود مستلزم یک رابطهء منظم است. مثلا یک کودک می‏تواند مقارنه یک به یک‏ بنماید(در آزمایش دگمه‏های قرمز و آبی)تنها اگر او هیچ‏یک از عناصر(دگمه‏ها)را فراموش نکند و هریک از این عناصر را دوبار به کار نبرد.تنها راه تمیز یک واحد از واحد دیگر این است که آن واحد را،در زمان‏ یا مکان،قبل یا بعد از دیگری ببینیم،یعنی‏ به ترتیب شمارش.

مطالعه دربارهء کشف روابط فضایی کودک‏ (که می‏توان آن را هندسهء خودبه‏خودی کودک‏ نامید)از تحقیق دربارهء مفاهیم عددی او اهمیت‏ کمتری ندارد.به نظر می‏رسد که ترتیب تکامل‏ مفاهیم هندسی در کودک با ترتیب کشف تاریخی‏ این علم رابطهء عکس دارد.هندسهء علمی با نظام‏ اقلیدس(که مربوط می‏شود به شکلها،زاویه‏ها و از این قبیل)شروع شد.در قرن هفدهم‏هندسهء اقلیدسی تکامل پیدا کرد و هندسهء تصویری(که مربوط است به مسائل مناظر و مرایا)نامیده شد.سرانجام در قرن نوزدهم‏ این هندسه با علمی به نام توپولوژی(که‏ روابط فضایی را به طریق کیفی و کلی‏ توصیف می‏کند،مثلا تمیز بین ساخت و باز و بسته،داخل و خارج،و نزدیکی و دوری) تبدیل شد.ترتیب تکوین مفاهیم ریاضی‏ کودک به عکس ترتیب تاریخی این علم است: نخستسن کشفیات هندسی کودک توپولوژیکی‏ است.وی در سه سالگی قادر به تمیز بین اشکال‏ باز و بسته است.اگر از او بخواهید تا از روی سر مشق یک چار گوش یا یک سه گوش‏ رسم کند یک دایره می‏کشد و با دو خط مجزا یک تقاطع رسم می‏کند.اگر به او شکل یک‏ دایرهء بزرگ با دایرهء کوچکی در داخل آن را نشان دهید،کاملا قادر است که این رابطه را خود ایجاد کند،و می‏تواند و شکلی بکشد که‏ در آن دایره کوچکی در خارج یا نزدیک به لبه‏ دایرهء بزرگ باشد.کودک قادر است همهء این‏ کارها را،پیش از آنکه بتواند یک سه گوش‏ بکشد یا مشخصات اقلیدسی یک شکل(شماره‏ پهلوها،گوشه‏ها و غیره)را نشان دهد بکشد. کودک تا مدتی نسبتا طولانی بعد از اینکه‏ بر روابط توپولوژیکی مسلط شد نمی‏تواند دربارهء هندسهء اقلیدسی و تصویری تصوراتی‏ داشته باشد.

جالب این است که ترتیب روانشناسی‏ کسب مفاهیم خیلی به ترتیب هندسهء جدید که براساس قیاس و بدیهیات نزدیکتر است‏ تا ترتیب تاریخی کشف این علم.این مثال‏ دیگری است که نشان می‏دهد که بین ساختمان‏ روانشناسی و منططقی این علم قرابت وجود دارد.

حال آزموده‏های جوان خود را در ساختهای هندسهء تصویری آزمایش می‏کنیم. نخست دو چوب به فاصلهء 15 اینچ(در حدود 40 سانتی‏متر)از یکدیگر روی میز نصب

می‏کنیم.بعد،کودک می‏خواهیم تا چوبهای‏ دیگری بین آن دو طوری قرار دهد که نسبت‏ به آنها در یک خط مستقیم قرار گیرند. کودک خردسال(کوچکتر از 4 سال)هر چوب‏ را نزدیک دیگری قرار می‏دهد،و بدین طریق‏ یک خط نسبتا موج دار به وجود می‏آورد.روش‏ او،توپولوژیکی است:عناصر(چوبها)با رابطهء سادهء مجاورت پیش هم قرا می- گیرند،با طرح یک خط.در مرحلهء بعدی‏ بالاتر از 4 سالگی،اگر چوبهای اول و آخر نسبت به هم از لبهء میز موازی باشند،یا اگر خط مستقیم دیگری موجود باشد تا راهنمای‏ کودک شود،کودک ممکن است با چوبها خط مستقیمی درست کند.اگر چوبهای دو سر نسبت به لبهء میز مایل باشند،ممکن است‏ کودک به ساختن خطی موازی با لبه میز بپردازد،و بعد برای وصل کردن این خط به‏ چوب انتها جهت آن را تغییر دهد،و بدین‏ نحو یک خط منحنی درست کند.گاهی امکان‏ این هست که کودک خط مستقیمی درست کند، لکن او این کار را با کوشش و خطا انجام‏ خواهد داد،نه به کمک یک نظام معین.در سن متوسط 7 سالگی،کودک می‏تواند،به‏ هر سویی در روی میز،چنین خط مستقیمی‏ بسازد و درست بودن آن را با بستن یک‏ چشم و نگاه با چشم دیگر،امتحان خواهد کرد.در این آزمایش مفهوم هندسهء تصویری‏ وجود دارد،و گرچه خط مزبور هنوز یک‏ توپولوژیکی است،کودک درک کرده است که‏ رابطهء تصویری به زاویهء دید بستگی دارد.

می‏توان این موضوع را از طریق دیگر آزمایش کرد.عروسکی روی میز بگذارید. شیئی به جهتی در جلو آن قرار دهید.یک‏ قلم که نسبت به خط دید عروسک،از پهنا به‏طور مایل یا به طول گذاشته شود،یا یک‏ ساعت که از پهنا به‏طور ایستاده روی میز قرار گیرد.بعد از کودک بخواهید تا دیدعروسک را نسبت به شئی رسم کند،یا از او بخواهید تا از چند تصویری که شما به او نشان می‏دهید یکی را که زاویهء دید عروسک‏ را نشان می‏دهد انتخاب کند.

آزمایش دیگری که برای بررسی این‏ نکته انجام گرفته به نتایج مشابه رسیده‏ است.این آزمایش بدین نحو است که اشیایی‏ با اشکال مختلف،به وضعهای گوناگون،بین‏ یک چراغ و یک پرده می‏گذاریم،و بعد از کودک می‏خواهیم که شکل سایه‏هایی را که‏ روی پرده می‏افتد پیش‏بینی کند.

کودکان توانایی هماهنگ کردن مناظر و مرایای مختلف را تا سنین 9 تا 10 سالگی‏ ندارند.این موضوع چندی پیش،در آزمایشی‏ که به کمک همکارم دکتر ادیت میر Meyer -Edith انجام دادیم،به ثبوت رسید.آزماینده‏ پشت میز مقابل کودک می‏نشیند و بین خود و کودک یک رشته کوه مقوایی قرار می‏دهد. هریک از این دو نفر(آزماینده و آزموده) کوه را از مناظر و مرایای مختلف(از جهات‏ مختلف)می‏بیند.بعد از کودک می‏خواهیم تا از اشکال مختلفی را که هردو منظرهء کوه(هم آن‏که‏ خود و هم آن‏که آزماینده می‏بیند)را نشان‏ می‏دهد انتخاب کند.طبیعتا کودکان خردسال‏ تنها می‏توانند شکلی را که با منظرهء جلو روی‏ خود مطابقت دارد انتخاب کنند.آنها تصور می‏کنند که همهء زاویه‏های دید شبیه زاویهء دید خود آنهاست.جالب این است که اگر جای‏ کودک را با آزماینده عوض کنیم تا کودک‏ کوهها را از سوی دیگر ببیند،فکر می‏کند که‏ منظرهء جدید جلوی روی او تنها منظرهء درست‏ است.وی نمی‏تواند زاویهء دیدی را که لحظه‏ای‏ پیش به خود او تعلق داشت از نو بسازد. این مثال به روشنی خود مداری کودک را ثابت‏ می‏کند.این خود مداری کودکان را از درک اینکه‏ ممکن استاست بیش از یک زاویهء دید وجود

داشته باشد باز می‏دارد.

کودکان در حدود سن 9 یا 10 سالگی‏ توانایی تمیز و هماهنگ کردن مناظر و مرایای‏ مختلف را کسب می‏کنند.در این مرحله کودکان‏ به تشخیص فضای تصویری قادرند،لکن در زمینه‏های عملی نه در جهت جنبه‏های نظری.

در این وقت که کودک به درک فضای‏ تصویری نائل می‏آید،همچنین به تشخیص‏ فضای اقلیدسی نیز قادر می‏شود،چه این دو نوع سشاختمان براساس یکدیگرند.مثلا در آزمایش در خط مستقیم قرار دادن ردیف‏ چوبها،کودک نه تنها روش دید را به کار می‏برد،بلکه ممکن است دستهایش را نیز موازی یکدیگر بگیردتا بدین وسیله جهت را که‏ یک اصل اقلیدسی است به کار می‏بندد.این‏ موضوع ثابت می‏کند که کودکان تصورات‏ ریاضی را بر اساسی کیفی یا منطقی تشکیل‏ می‏دهند.

«اصل بقا»به اقسام مختلف ظاهر می‏شود. نخستین آنها اصل بقای طول است.اگر دو قطعه چوب همطول را کنار هم قرار دهیم و بعد یکی از آنها را بالا بکشیم تا نسبت به‏ دیگری بالاتر قرار گیرید،کودک کمتر از 6 سال تصور می‏کند که دو قطعه مزبور دیگر طولشان یکی نیست.تا متوسط سن حدود 7 سالگی کودک نمی‏فهمد که به همان مقدار که به یک طرف شئی اضافه شده است از طرف‏ دیگرش کاسته شده است.کودک به واسطه‏ یک فرایند منطقی به مفهوم بقای طول می- رسد.آزمایشهایی دربارهء کشف بقای فاصله‏ نیز انجام گرفته است و به نتایج سودمندی انجامیده‏ است.بین دو درخت(وسیلهء بازی)که روی‏ میزی قرار دهید،دیواری چوبی یا مقوایی‏ بگذارید.بعد از کودک بپرسید(البته به‏ زبان کودک)که،حال که بین دو درخت دیواری‏قرار گرفته،فاصلهء میان آنها تغییر کرده یا به اندازهء سابق است؟کودکان خردسال فکر می‏کنند که فاصله تغییر یافته است.آنان‏ قادر نیستند دو قسمت یک فاصله را به هم‏ اضافه کنند و از مجموع آن دو یک فاصلهء کل را تصور بکنند.کودکان به سن 5 یا 6 سالگی معتقدند که فاصله تقلیل یافته است، و ادعا می‏کنند که عرض دیوار به‏عنوان‏ جزئی از فاصله بین دو درخت به حساب نمی- آید،یا به سخن دیگر یک فضای پر شده همان‏ ارزش فضای خالی را ندارد.تنها در 7 سالگی است که کودکان می‏فهمند که در چنین مواردی در فاصله تغییری پیدا نمی- شود.

هرچه بیشتر آزمایش کنیم به این حقیقت‏ نزدیکتر می‏شویم که:کودکان اصل بقای طول‏ و سطح را تا حدود 7 سالگی درک نمی‏کنند، در این سن است که آنها این معنی را در- می‏یابند(مثلا یکسا باقی ماندن در طول دو قطعه چوب در آزمایش پیشین و بی تأثیر بودن‏ دیوارهای مقوایی یا چوبی در آزمایش اخیر). بنابراین کشف روابط منطقی برای ساختمان‏ مفاهیم هندسی،همان‏طور که در تشکیل‏ مفهوم عددها صادق است،یک پیش آمادگی به‏ حساب می‏آید.

این پیش آمادگی(یعنی روابط منطقی‏ یاد شده)دربارهء مفهوم اندازه گیری نیز صادق است.بررسی اینکه چگونه کودکان، خودبه‏خود،اندازه گیری را می‏آموزند مطلب‏ بسیار جالبی است.من و یکی از همکارانم، دکتر اینهلدر،در این بابت آزمایش زیر را انجام دادیم:به کودک برجی که از قطعات‏ مکعب شکل چوبی درست شده و در روی یک‏ میز قرار داشته باشد نشان می‏دهیم و از او می‏خواهیم تا با قطعات چوب برج دیگری به‏ همان ارتفاع روی میز دیگر(بلندتر یا کوتاهتر از میز اول)بسازد.همه گونه وسیله در

اختیار کودک می‏گذاریم.کوششهای کودکان‏ برای حل این مسئله بستگی به میزان رشد آنها دارد.کودکان خردسال برج دوم را تا سطح بصری برج اول می‏سازند،بی توجه به‏ اینکه بین ارتفاع دو میز اختلاف وجود دارد. کودکان دور می‏روند و با نظر انداختن به‏ برجها ارتفاع آنها را با یکدیگر مقایسه‏ می‏کنند.در مرحلهء اندکی پیشرفته‏تر،کودک‏ با استفاده از یک میلهء دراز که روی دو سر برج می‏گذارد ارتفاع آنها را می‏سنجند و بدین‏ وسیله کسب اطمینان می‏کند که دو برج در یک سطح قرار دارند.کودک در مرحلهء پیشرفته‏تر متوجه می‏شود که پایهء برج او هم‏ سطح پایه برج سر مشق نیست.آن وقت می- خواهد برج خود را روی میز دیگر کنار برج‏ سر مشق بگذارد و آنها را باهم مقایسه کند. وقتی که به او متذکر می‏شویم که قوانین بازی‏ به او اجازهء حرکت دادن برجش را نمی‏دهد، در اطراف به جستجوی وسیله‏ای برای اندازه‏ گیری می‏پردازد.جالب این است که اولین‏ وسیله‏ای که به ذهنش می‏رسد بدن اوست. یک دستش را بالای برج و دست دیگر را در پایهء برج قرار می‏دهد،و بعد در حلی که‏ سعی دارد که فاصلهء دو دستش به هم نخورد، به سراغ برج سر مشق می‏رود تا آنها را باهم‏ مقایسه کند.کودکان 6 ساله اغلب این کار را با حداکثر اطمینان انجام می‏دهند،چنانکه گویی‏ فاصلهء دستهایشان در وقت حرکت هیچ‏گونه‏ تغییری نمی‏کند.ولی به زودوی کشف می‏کنند که این روش مورد اعتماد نیست،و بعد به‏ عنوان وسیله‏ای برا یاندازه‏گیری به قسمتهای‏ دیگر بدن خود متوسل می‏شوند.کودک ممکن‏ است شانهء خود را با نوک برج و ران خود را با پایهء آن مقابل کند و به کنار برج‏ سر مشق برود و بلندی آن را با بلندی برج‏ خویش بسنجد.

سرانجام تصور وسیله‏ای مستقل برای‏اندازه‏گیری به ذهن کودک می‏رسد.اولین‏ کوشش او در این جهت احتمالا ساختن برج‏ سومی است که در نزدیک و هم اندازهء برجی که‏ اول ساخته است.پس از ساختن آن بر روی‏ میزی که برج سر مشق روی آن است می‏برد و پهلوی برج سر مشق می‏گذارد.قوانین‏ بازی این اجازه را به کودک می‏دهند.رسیدن‏ کودک به این مرحله،مستلزم فرایندی از استدلال منطقی است.اگر برج سر مشق A، برج دوم را C و برج متحرک را B بنامیم، کودک این‏گونه استدلال کرده است: C-B و A-Bبنابراین C-A

بعد کودک به جای برج سوم یک میله به‏ کار خواهد برد،اما در ابتدای این میله باید هم ارتفاع برجی باشد که می‏خواهد اندازه‏ بگیرد.و باز هم بعد،کشف می‏کند که می- توان میله‏ای درازتر به کار بردو اندازهء برج‏ را روی آن با انگشت نشان کرد.و بالاخره‏ درمی‏یابد که می‏توان میله‏ای کوتاهتر به کار برد و با به کار بردن چندین بار آن ارتفاع‏ را اندازه گرفت،و این است شروع اندازه- گیری واقعی.

آخرین اکتشاف کودک متضمن دو عمل‏ تازهء منطقی است.نخستین فرایند تقسیم‏ است که کودک را آمادهء درک ایت نکته می‏کند که کل از اجزایی که به هم اضافه شده‏اند ترکیب یافته است.دیگری فرایند جا به جا کردن یا جانشین ساختن است که کودک را قادر می‏سازد تا یک جزء را به اجزای دیگر بیفزایدو نظامی از واحدها بسازد.بنابر این می‏توان گفت که اندازه‏گیری ترکیبی‏ است از تقسیم به اجزا و جانشین سازی، همچنانکه عدد ترکیبی است از طبقات و ترتیب‏ مسلسل،لکن مفهوم اندازه‏گیری دیرتر از کفهوم عدد در ذهن کودک تشکیل می‏شود،زیرا تقسیم یک کل پیوسته به واحدهای تغییرناپذیر دشوارتر از تقسیم آن کل به عناصری است که

به خودی خود مجزا هستند.

برای مطالعهء مفهوم اندازه‏گیری در مورد اشکال دو بعدی،به کودک یک صفحه بزرگ‏ کاغذ که نقطه‏ای با مداد روی آن گذاشته شده‏ است ارائه می‏دهیم و از او می‏خواهیم تا نقطه‏ای،با همان وضع،روی صفحهء دیگری‏ که به اندازهء صفحهء اولی است بگذارد. کودک می‏تواند میله،نوار کاغذ،نخ،خطکش، یا هرگونه وسیلهء دیگر اندازه‏گیری موردنیاز خود را به کار برد.آزموده‏های خردسال به‏ همان مقدار تخمینی که از نگاه کردن حاصل‏ می‏شود قانعند و هیچ‏گونه وسیله‏ای به کار نمی‏برد.در مرحلهء بالاتری از رشد،کودک‏ از وسیلهء اندازه‏گیری استفاده می‏کند،بدین‏ طریق که فاصلهء نقطه را تنها از لبهء کناری‏ یا پایینی صفحه اندازه می‏گیرد و متوجه‏ زاویه ای که این خط با لبهء کاغذ می‏سازد نیز هست،و می‏کوشد تا این زاویه را در موقع بکار بردن خطکش در صفحهء خود منظور بدارد.سرانجام در حدود 8 یا 9 سالگی کودک در می‏یابد که باید اندازه‏گیری‏ را به دو عمل تقسیم کند.یک عمل اندازه‏ گیری فاصلهء افقی نقطه از لبهء کناری کاغذ و عمل دیگر اندازه‏گیری فاصلهء عمودی‏ نقطه از لبهء پایینی یا بالایی آن.آزمایشهای‏ مشابه با یک مهره در یک جعبه نشان می‏دهد که کودک در حدود همان سالها کشف می‏کند که چگونه اندازه‏گیری سه بعدی را انجام‏ دهد.

اندازه‏گیری در دو یا سه یعد ما را به‏ مفهوم اصلی فضای اقلیدوسی(مفهوم محور مختصات-نظامی که براساس افقی بون یا عمودی بودن اشیای مادی بنا نهاده شده است) می‏رساند.به نظر می‏رسد که حتی یک کودک‏ بسیار خردسال باید این مفاهیم را درک کند، چه او می‏تواند بین وضعهای ایستاده و خوابیده یک شئی تمیز قایل شود.لکن عملانمایش خطوط عمودی واقغی مسئله‏ای است‏ که کاملا با وضع ایستاده یا خوابیدهء شئی‏ را در آزمایشس ذیل بررسی کرده‏ایم:نیمی از کوزه‏ای را با آب رنگی پر می‏کنیم و از آزموده‏های جوان خود می‏پرسیم تا پیشگویی‏ کنند که اگر کوزه را به سمتی خم کنند سطح‏ آب چه وضعی به خود خواهد گرفت.کودکان‏ تا متوسط سن 9 سالگی تصور افقی بودن‏ سطح آب را نمی‏توانند بکنند،لذا نمی‏توانند به درستی پیشگویی کنند.آزمایشهای مشابه توسط شاقول یا یک دکل بلند قایق بازی نشان می- دهد که کودک در حدود همان سال مفهوم‏ عمودی بودن را فرا می‏گیرد.تأخیر کودک‏ در کسب این مفاهیم نباید باعث تعجب شود، زیرا کودکان نه تنا نیازمند درک روابط واقعی یک شئی هستند،بلکه همچنین به عناصر خارجی(مثل یک میز یا کف اتاق یا دیوارها آن)نیز باید توجه کنند.

وقتی که کودک،با مراجعه به اشیای‏ طبیعی،به کشف چگونگی ساختمان این‏ محورهای مختصات نایل آمد و این موقعی‏ است که توانایی هماهنگ کردن مناظر و مرایا را به دست آورده است،مفهوم نحوهء نشان‏ دادن روابط فضایی را کامل کرده است.در این وقت کودک مفاهیم اصول ریاضی را کهک‏ خودبه‏خود از اعمال منطقی او سرچشمه می- گیرند تشکیل داده است.

آزمایشهای ساده‏ای کهشرح داده شدند به نحو شگفت انگیزی سودمندند و بسیاری‏ حقلیق غیرمنتظر را روشن ساخته‏اند.این‏ حقایق از نظر روانشناسی و علوم تربیتی‏ حایز اهمیت است.مههذا،اگرچه این حقایق‏ روشن کننده مفاهیم بسیاری از روانشناسی و آموزش و پرورش هستند،آنها به‏طور کلی‏ آموزندهء نکاتی دربارهء دانش بشری نیز هستند.

پایان مقاله

کلمات کلیدی: چگونگی تشکیل مفاهیم ریاضی‏ در کودکان (این مقاله در مجلهء Scientific American،نوامبر منتشر شده است.)

ژان پیاژه ترجمه: علی اکبر سیف

آموزش و پرورش (تعلیم و تربیت)» شماره 82 (صفحه 366)

مفاهیم ریاضی

لینک منبع
تاریخ: شنبه , 13 اسفند 1401 (07:58)
گزارش تخلف مطلب

تبلیغات متنی

WwW.PnuBlog.Com

ارسال دیدگاه